13  Estimación de Densidad por Kernel

14 Introducción a la Estimación de Densidad por Kernel

La estimación de densidad por kernel es un método no paramétrico para estimar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria. A diferencia de un histograma, que agrupa los datos en “cajas” discretas, la estimación por kernel crea una curva suave y continua.

La fórmula general del estimador de densidad por kernel es: \[ \hat{f}_h(x) = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{x - x_i}{h}\right) \] Donde: - \(n\) es el número de puntos de datos. - \(h\) es el ancho de banda (conocido como bw en la función density de R), que controla el nivel de suavizado. - \(K\) es la función kernel, una función simétrica que integra a uno (ej. rectangular, gaussiana, Epanechnikov).

En este documento, se explora el efecto de estos dos parámetros (bw y kernel) en la estimación de la densidad para un pequeño conjunto de datos.

14.1 Datos de Ejemplo

Se utiliza un vector simple x para ilustrar los conceptos.

x <- c(1, 2, 2.5, 3, 5, 7, 10)
y <- rep(0, length(x)) # Para graficar los puntos en el eje

15 Análisis con Kernel Rectangular

El kernel rectangular es el más simple, equivalente a construir una “caja” de altura \(1/(2h)\) y ancho \(2h\) alrededor de cada punto de datos.

15.0.1 Ancho de Banda Pequeño (bw = 0.7)

Un ancho de banda pequeño considera solo a los vecinos más cercanos de cada punto. Esto puede resultar en una estimación con alta variabilidad (muy “puntiaguda”), que se ajusta mucho a la muestra actual pero podría no generalizar bien.

hist(x, prob = TRUE)
points(x, y, col = "red", pch = 12)
lines(density(x, kernel = "rectangular", bw = 0.7), lwd = 2, col = "blue")

15.0.2 Ancho de Banda Grande (bw = 3)

Un ancho de banda grande considera a muchos datos como vecinos de cada punto. Esto produce una estimación muy suavizada, con baja variabilidad pero potencialmente con un alto sesgo (puede ocultar características importantes de la distribución).

hist(x, prob = TRUE)
points(x, y, col = "red", pch = 12)
lines(density(x, kernel = "rectangular", bw = 3), lwd = 2, col = "blue")

15.0.3 Ancho de Banda Óptimo (por defecto)

Si no se especifica un ancho de banda, R calcula uno que intenta equilibrar el compromiso entre sesgo y varianza.

hist(x, prob = TRUE)
points(x, y, col = "red", pch = 12)
lines(density(x, kernel = "rectangular"), lwd = 2, col = "blue")

16 Análisis con Kernel Gaussiano (por defecto en R)

El kernel más utilizado es el Gaussiano, que centra una pequeña campana de Gauss en cada punto de datos, resultando en una curva más suave. Si no se especifica el kernel, R utiliza el Gaussiano por defecto.

16.0.1 Ancho de Banda Fijo (bw = 1.2)

Aquí se muestra el efecto de fijar manualmente el ancho de banda con el kernel Gaussiano.

hist(x, prob = TRUE)
points(x, y, col = "red", pch = 12)
lines(density(x, bw = 1.2), lwd = 2, col = "blue")

16.0.2 Ancho de Banda Óptimo (por defecto)

Este es el resultado que R produce por defecto, utilizando un kernel Gaussiano y un ancho de banda calculado automáticamente para ser “óptimo”.

hist(x, prob = TRUE)
points(x, y, col = "red", pch = 12)
lines(density(x), lwd = 2, col = "blue")